<<
>>

Интуиционизм

Направление, которое соответствует одновременно логицизму Э. Гуссерля и формализму Д. Гильберта, было разработано голландским ученым Л. Брауэром и развито Г. Вейлем (Германия) и А.

Гейтингом (Нидерланды). Интуиционистская программа была расширена в 60-е годы XX века американским математиком Э. Бишопом.

Две теории находятся в центре беспокойства и критики ин-туиционистов: принцип исключенного третьего и теория бесконечности. Принцип исключенного третьего является аристотелевским, он состоит в утверждении, что всякое суждение яв

475

Роже Каратини

ляется либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Рассуждение ведется по формуле: «или-или». Если это выразить в терминах пропозиционального исчисления, то принцип исключенного третьего будет соответствовать эквиваленции:

Лр=р

(отрицание отрицания дает утверждение и наоборот). Принцип исключенного третьего лежит в основе всех абсурдных умозаключений, которые встречаются в математике в следующем виде: «Если п четное число, то по условиям проблемы следствием будет то, что п+1 также четное, но два соседних целых числа не могут быть оба четными, следовательно, п является нечетным числом».

Проблема бесконечности была поставлена уже в парадоксе Галилея, известном как один из первых парадоксов в истории математики. Натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, п, п+1, ... получается прибавлением единицы к каждому числу ряда п, чтобы получить число ряда п+1. Так как к каждому числу можно прибавить 1, кажется, что множество целых натуральных чисел бесконечно. Но эта бесконечность со всеми своими элементами не дана нам в реальности, это потенциальная бесконечность. Кроме того, каждое целое число п обладает квадратом п, и мы можем записать два ряда чисел один под другим:

Ряд п: 1, 2, 3, 4, ... п, (п+1) ... Ряд п2: 1, 4, 9, 16, ... п2, (п+1)2 ...

Так как каждому целому числу п соответствует число п2, можно сказать, что есть столько квадратов чисел, сколько самих целых чисел. Но что при этом делать с аксиомой, согласно которой «целое всегда больше части»? Множество полных квадратов не представляют всех целых чисел, и, однако, есть; столько полных квадратов, сколько целых чисел.

Это же парадокс (один из многих). Можно сказать, что существуют «воз-*! можная», потенциальная бесконечность и реализованная, ак$ туалъная бесконечность. Осторожное заключение Галилея: ос? тережемся актуальной бесконечности и запретим математика^ заниматься ею. Двумя тысячелетиями раньше элеаты пришли К такому же заключению (парадокс Ахилла и черепахи — это сме! шение актуальной и потенциальной бесконечностей), а в 1834 году Коши сослался на парадокс Галилея и поздравил этог<|1

476

Логика и эпистемология

жителя Пизы с его осторожностью. Существуют целые тома, анализирующие парадоксы такого жанра. Интуиционизм выступает против использования в математике и логике идеи актуальной бесконечности, а причину парадоксов в этих науках объясняет представлением, что математику можно понять с помощью логики и каких-то логических средств. Точная математическая мысль основывается на рациональной интуиции. С помощью интуиции создается вся математика, объекты которой не существуют независимо от их умственных построений. Математическое доказательство основывается не на логике, а на интуитивной очевидности. Вопрос о применимости в доказательстве логических законов и правил решается также с помощью интуиции.

Формальная интуиционистская система (которая не понимает принципа исключенного третьего) может породить классическую формальную систему через присоединение принципа исключенного третьего; и в 1932 году К. Гёдель показал, как можно перейти из классической системы в интуиционистскую. За тридцать лет благодаря интуиционизму произошло эффективное сближение математического анализа и проблем оснований математики.

<< | >>
Источник: Каратини Р. Введение в философию. — М.: Изд-во Эксмо, 2003. — 736 с. 2003

Еще по теме Интуиционизм:

  1. 4. ЛОГИЦИЗМ, ФОРМАЛИЗМ, ИНТУИЦИОНИЗМ И ПОЗИТИВИЗМ
  2. Система единой науки
  3. ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ 24
  4. 5.4. Стоимость воспроизводства и плата за природные ресурсы
  5. 5.3. Сравнительная экономическая оценка природных ресурсов
  6. 5.2. Абсолютная и экономическая оценки
  7. 5. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ
  8. 5.1. Содержание экономической оценки
  9. 4.3. Основные направления научно-технического прогресса и их влияние на охрану окружающей среды и рациональное природопользование
  10. 4.2. Оценка ущерба от загрязнения окружающей среды
  11. 4. ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЕ И НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРОГРЕСС
  12. 4.1. О критерии решения экологических проблем
  13. 3.5. Сочетание требования экологизации производственных процессов с требованиями экономического роста отраслей народного хозяйства
  14. 3.2. Возобновимые и невозобновимые ресурсы. Проблемы истощения. Основные пути предотвращения истощения природных ресурсов
  15. 3.3. Основные признаки естественных ресурсов, их классификация, как экономической категории