<<
>>

5.7.3. Выбор оптимального ассортимента продукции

Применяя изложенный математический аппарат двойственной задачи линейного программирования, рассмотрим пример выбора оптимального ассортимента и объема продукции швейного предприятия.

Эта социальная задача сферы сервиса связана с удовлетворением потребностей населения в бытовых услугах и направлена на улучшение основных производственных показателей эффекта бытового обслуживания, заключающегося в снижении стоимости товаров, экономии свободного времени и улучшении качества обслуживания.

Рассмотрим работу швейного предприятия, выпускающего детские костюмы, платья и плащи, сбыт которых зависит от состояния погоды, при этом реализация продукции происходит через фирменные магазины.

По данным наблюдений за предшествующие одиннадцать лет предприятие в течении апреля — мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов, 2000 платьев и 300 плащей, в условиях прохладной погоды — 1000 костюмов, 500 платьев и 800 плащей и в условиях обычной погоды — 800 костюмов, 1100 платьев и 600 плащей. Затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 30 ден. ед., для платьев Юден. ед. и для плащей 15 ден. ед., а цена реализации равна соответственно 50 ден. ед., 20 ден. ед. и 28 ден. ед.

Задача заключается в максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы.

Подобная задача рассматривается как игра с природой. Ее отличительная особенность состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников (предприятие), называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные ходы партнер по игре.

Первоочередной задачей является построение платежной матрицы.

Предприятие располагает тремя чистыми стратегиями: стратегия Р, с расчетом на теплую погоду, стратегия Р2 с расчетом па прохладную погоду и стратегия Р3 с расчетом на обычную погоду.

Природа, рассматриваемая как второй игрок, также располагает тремя стратегиями: обычная погода (стратегия П(), прохладная погода (стратегия П2) и теплая погода (стратегия П3).

Если предприятие выберет стратегию Р,, то в случае обычной погоды (стратегия природы П|) доход составит:

(50-30) 600 + (20 - 10)1100 + (28 - 15)300 - (20 - 10X2000- 1000)=

= 17900 ден.

ед.,

в случае прохладной погоды (стратегия природы П2) доход будет равен:

20-600+ 10-500+ 13 -300- 10(2000 - 500) = 5900 ден. ед.,

и в случае теплой погоды (стратегия природы П3) имеем доход, равный:

20 • 600 + 10 • 2000 + 13 • 300 = 35 900 ден. ед.

Если предприятие выберет стратегию Р2, то реализация продукции в условиях обычной погоды дает доход: г

20-800+ 10-500 + 13 • 600 - 20(1000 - 800) - 13(800 - 600) =

= 22000 ден. ед.,

в условиях прохладной погоды доход будет:

20- 1000+ 10 -500+ 13 -800= 35400 ден. ед., ’ ’

а в условиях теплой погоды имеем доход:

20 -600+ 10-500+ 13- 300-20(1000-600)-13(800-300) =

= 6400 ден. ед.

Если предприятие выберет стратегию Р3, то в случае обычной погоды доход будет равен:

20 • 800 + 10 - 1100 + 13 • 600 = 34800 ден. ед., при прохладной погоде имеем доход, равный: ''

{

20 • 800 + 10 • 500 + 13 • 600 - 10(1100 - 500) = 22800 ден. ед., /

I

и в случае теплой погоды доход составит:

20 • 600 + 10 • 1100 + 13 • 300 - 20(800 - 600) - 13(600 - 300) =

= 16000 ден. ед.

Платежная матрица

Результаты вычислений сведены в табл. 5.10.

Таблица 5.10 Стратегия

^\природы

Стратегия^.

предприятия Обычная

п, Прохладная

П2 Теплая

П3 Теплая — Р, 17 900 5 900 35 900 Прохладная — Р2 22 000 35 400 6 400 Обычная — Р3 34 800 22 800 16 000 Платежная матрица рассматриваемой производственной си туации имеет вид: j i (5.7.20)

Е =

17900 5900 35900 22000 35400 6400 34800 22800 16000 Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или совокупность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объединенных в понятие «природа»). В данной ситуации платит само предприятие, получая меньшую или большую прибыль.

Можно задавать матрицу игры с природой и в виде так называемой матрицы рисков К = |^-| или матрицы упущенных возможностей. Величина риска— это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Матрицу Л построим на основе матрицы выигрышей Е = |е,у|.

Риском Гц игрока при использовании им стратегий Ри Р2 или Ру и при состоянии природы Пь #2 или Пъ будем называть разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он узнал, что состоянием среды будет или Пь или /72, или 773 и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации.

Матрицу рисков находим по формуле (5.2.2).

Для матрицы (5.7.20) имеем Д = 34 800, /32 = 35 400, = 35 900.

Для определения критериев эффективности построим табл.

5.11.

Таблица 5.11

Вспомогательная таблица п, п2 п3 min е1} шах е,у j р, 17 900 5900 35 900 5900 35 900 р3 22 000 35 400 6400 6400 35 400 Рз 34 800 22 800 16000 16000 34 800 (16900 29500 0 12S00 0 29500 0 12600 19900

R =

(5.7.21)

Получаем матрицу рисков:

Для предприятия лучшими являются стратегии: JU

по критерию гарантированного результата: . ~ О

Ег = шах min etj = шах {5900, 6400,16000} -16000 - Р3; '** ' j ф; по критерию оптимизма:

> f- f ?

Е0 = max max е,. = max{35900, 35400, 34800} = 35900-Р(;

' i

по критерию пессимизма: j

Е„ = min min е„ = min {5900, 6400,16000} = 5900 - Р,; »о;.

' 1

по критерию Сэвиджа, исходя из матрицы рисков (5.7.21): , р,

Егс - min max ru = min {29500, 29500,19900} =19900-P3;

i j i

по критерию Гурвица при коэффициенте оптимизма к = 0,6 ,,

Е, = max {/с min i j j

‘ = шах{17900,18000, 23520} = 23520-Р3.

I

Стратегия Pi повторяется в качестве оптимальной по трем критериям выбора из пяти критериев, а стратегия Р\ — по двум критериям. Однако, преимущество дал критерий Гурвица, зависящий от коэффициента оптимизма к и, если принять к = 0,9, то по критерию Гурвица оптимальной будет стратегия Р2. Поэтому к практическому применению можно рекомендовать как стратегию Pit так и стратегию Р3.

В данном случае видно, что однозначного ответа о выборе оптимальной стратегии, исходя из критериев оптимальности, дать нельзя.

Дальнейший экономический анализ, с целью определения оптимального объема производства, проведем с использованием теории двойственности задач линейного программирования.

Для матрицы (5.7.20), исходя из общей постановки (5.7.16) — (5.7.19) имеем следующую пару двойственных задач:

для определения оптимальной стратегии игрока Р нужно решить задачу линейного программирования: найти минимум функции

(5.7.22)

при ограничениях

(5.7.23)

17900/, +22000/2 +З4800/3 *1» 5900/, +35400/2 + 22800/3 > 1, 35900/, + 6400Г2 +16000/3 > I, /, >0, /=1,2,3.

(5.7.24)

Оптимальную стратегию игрока П определим, решив задачу линейного программирования: найти максимум функции

7.

= м, + н2 + м3

при ограничениях

(5.7.25)

17900«, +5900и2 +З5900и3 <1, 22000м, + 35400м2 +6400м3 <1, 34800«, +22800м2 +16000и3 <1, и}>0, у = 1,2,3.

Решаем более простую обратную задачу (5.7.24) — (5.7.25). Вводя положительные базисные переменные (б.п.) и4, «5, и6, систему неравенств (5.7.24) — (5.7.25) записываем в виде системы уравнений

Г'

бт

М-®!

17900м, +5900ы2 + З5900м3 +м4 =1, 22000м, + 3 5400и2 + 6400м3 + м5 =1, 34800и, + 22800и2 +16000м3 + и6 =1, -м, -и2 -и3 +2 = 0.

Систему (5.7.26) записываем в виде табл. 5.12.

Совершая последовательно три шага модифицированных жор- дановых исключения, получим табл. 5.13.

Таблица 5.13 \.п

б.п^ и6 о5 о4 1 V* 1758766158! 14703 45973049029 43237368013 679081024890800 1410461980 509289611738400 2037243074672400 489549 2094351 35148 113361 14104619800 42313859400 5289232245 5289232425 123406727061 524987 44031622991 32266536049 1772401474964988 14104619800 2037158446953600 8076781399859952 г 4919630499 16008 11495892639 532279964702 1772327848 849632 705230990 509289611738400 11077509218531175 Так как в табл. 5.13 все элементы в г-строке и 1-столбце неотрицательны, то получаем оптимальное решение.

Переходим к решению прямой задачи. Установим соответствие переменных двойственных задач:

С. П. Б. П.

Щ «2 Щ м4 «5 и6

Транспонируем табл. 5.13, знаки перед всеми элементами, кроме элементов Z — строки, меняем на обратные, переменные ^ заменяем на соответствующие переменные и„ получаем табл. 5.14.

Таблица 5.14 V.n.

б\ ‘ь h и 1 h 0,259 • \(Ґ 0,347 • 10^ -0,697- 10"* 0,028 - 10"4 h -0,104- 10^ -0,495 ? 1<Ґ* 0,372 - 1<Ґ* 0,227 • \(Ґ h - 0,903 - 10^ -0,066 ? КГ* 0,216- HT4 0,225 • 1СГ4 т -0,217 ? КГ4 -0,221 ? ІОГ4 - 0,041 ? 10^ 0,480 - !СИ Из табл. 5.14 получаем оптимальное решение. Так как

Т = - = 0,48-10-4, то цена игры V = 20833. Из г, = — = 0,225-10“4 V

v 1 V

получаем X, = 0,469. Аналогично получим х2 = 0,472 и = 0,059.

Это означает, что стратегию Р] нужно применять с вероятностью 0,469, стратегию Р2 — с вероятностью 0,472 и стратегию Ру — с вероятностью 0,059.

Формируем оптимальный план производства:

(600 кост. + 2000 плат, + 300 плащ.) - 0,469 + (1000 кост. +

' + 500 плат. + 800 плащ.) • 0,472 + (800 кост. + 1100 плат. +

; + 600 плащ.) • 0,059 = 801 кост. + 1239 плат. + 554 плащ.

Таким обратом, предприятие при производстве 801 костюма, 1239 платьев и 554 плащей получит наибольшую прибыль, которая в среднем составит 20833 ден. ед.

Для приведенной формулировки производственной задачи получили однозначный ответ.

Недостатком данного метода является достаточно большой объем вычислительных операций даже для матрицы с размерностью 3x3. Однако, существуют стандартные программы применения симплексного метода на ЭВМ и это снимает подобное неудобство.

<< | >>
Источник: Шапкин А. С., Шапкин В. А.. Теория риска и моделирование рисковых ситуации: Учебник. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»,. — 880 с.. 2005

Еще по теме 5.7.3. Выбор оптимального ассортимента продукции:

  1. 7.2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫБОР ОБЪЕМА шл ИНВЕСТИЦИЙ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЙ МАКСИМАЛЬНЫЙ ПРИРОСТ ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ
  2. 5.6. Анализ ассортимента продукции
  3. Расширение границ торговой марки и ассортимент продукции
  4. 6.5.4. Выбор оптимального проекта реконструкции фабрики — химчистки
  5. 6.6.4. Выбор оптимального решения с помощью доверительных интервалов
  6. § 6. Проблемы выбора оптимальной организационной формы юридического лица
  7. 6.5. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА МЕТОДОМ ПОСТРОЕНИЯ ДЕРЕВЬЕВ СОБЫТИЙ
  8. 6.6.1. Выбор оптимального варианта решения с помощью статистических оценок
  9. 6.3. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ЧИСЛА РАБОЧИХ МЕСТ В ПАРИКМАХЕРСКОЙ С УЧЕТОМ РИСКА ОБСЛУЖИВАНИЯ
  10. 3.3. Планирование экспортного товарного ассортимента
  11. 9.4. УЧЕТ ГОТОВОЙ ПРОДУКЦИИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СЧЕТА 40 «ВЫПУСК ПРОДУКЦИИ»
  12. Ассортимент — наше основное отличие
  13. 10.10. Исключение доступа к рынку, принудительный ассортимент, барьеры входа
  14. 21.5. Выбор между договорным урегулированием и судебным разбирательством; выбор правил гражданской процедуры и эволюция общего права
  15. 5.5.2. ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПО ПАРЕТО
  16. 1.2.2. Модели определения оптимального размера заказов
  17. 13.1. Оптимальное регулирование
  18. Математический вывод формулы оптимальной интенсивности стимулирования
  19. Критерий оптимальности демографических процессов
  20. Оптимальные средства продвижения в Интернете