5.7.3. Выбор оптимального ассортимента продукции
Применяя изложенный математический аппарат двойственной задачи линейного программирования, рассмотрим пример выбора оптимального ассортимента и объема продукции швейного предприятия.
Эта социальная задача сферы сервиса связана с удовлетворением потребностей населения в бытовых услугах и направлена на улучшение основных производственных показателей эффекта бытового обслуживания, заключающегося в снижении стоимости товаров, экономии свободного времени и улучшении качества обслуживания.Рассмотрим работу швейного предприятия, выпускающего детские костюмы, платья и плащи, сбыт которых зависит от состояния погоды, при этом реализация продукции происходит через фирменные магазины.
По данным наблюдений за предшествующие одиннадцать лет предприятие в течении апреля — мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов, 2000 платьев и 300 плащей, в условиях прохладной погоды — 1000 костюмов, 500 платьев и 800 плащей и в условиях обычной погоды — 800 костюмов, 1100 платьев и 600 плащей. Затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 30 ден. ед., для платьев Юден. ед. и для плащей 15 ден. ед., а цена реализации равна соответственно 50 ден. ед., 20 ден. ед. и 28 ден. ед.
Задача заключается в максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы.
Подобная задача рассматривается как игра с природой. Ее отличительная особенность состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников (предприятие), называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные ходы партнер по игре.
Первоочередной задачей является построение платежной матрицы.
Предприятие располагает тремя чистыми стратегиями: стратегия Р, с расчетом на теплую погоду, стратегия Р2 с расчетом па прохладную погоду и стратегия Р3 с расчетом на обычную погоду.
Природа, рассматриваемая как второй игрок, также располагает тремя стратегиями: обычная погода (стратегия П(), прохладная погода (стратегия П2) и теплая погода (стратегия П3).
Если предприятие выберет стратегию Р,, то в случае обычной погоды (стратегия природы П|) доход составит:
(50-30) 600 + (20 - 10)1100 + (28 - 15)300 - (20 - 10X2000- 1000)=
= 17900 ден.
ед.,в случае прохладной погоды (стратегия природы П2) доход будет равен:
20-600+ 10-500+ 13 -300- 10(2000 - 500) = 5900 ден. ед.,
и в случае теплой погоды (стратегия природы П3) имеем доход, равный:
20 • 600 + 10 • 2000 + 13 • 300 = 35 900 ден. ед.
Если предприятие выберет стратегию Р2, то реализация продукции в условиях обычной погоды дает доход: г
20-800+ 10-500 + 13 • 600 - 20(1000 - 800) - 13(800 - 600) =
= 22000 ден. ед.,
в условиях прохладной погоды доход будет:
20- 1000+ 10 -500+ 13 -800= 35400 ден. ед., ’ ’
а в условиях теплой погоды имеем доход:
20 -600+ 10-500+ 13- 300-20(1000-600)-13(800-300) =
= 6400 ден. ед.
Если предприятие выберет стратегию Р3, то в случае обычной погоды доход будет равен:
20 • 800 + 10 - 1100 + 13 • 600 = 34800 ден. ед., при прохладной погоде имеем доход, равный: ''
{
20 • 800 + 10 • 500 + 13 • 600 - 10(1100 - 500) = 22800 ден. ед., /
I
и в случае теплой погоды доход составит:
20 • 600 + 10 • 1100 + 13 • 300 - 20(800 - 600) - 13(600 - 300) =
= 16000 ден. ед.
Платежная матрица
Результаты вычислений сведены в табл. 5.10.
Таблица 5.10 Стратегия
^\природы
Стратегия^.
предприятия Обычная
п, Прохладная
П2 Теплая
П3 Теплая — Р, 17 900 5 900 35 900 Прохладная — Р2 22 000 35 400 6 400 Обычная — Р3 34 800 22 800 16 000 Платежная матрица рассматриваемой производственной си туации имеет вид: j i (5.7.20)
Е =
17900 5900 35900 22000 35400 6400 34800 22800 16000 Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или совокупность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объединенных в понятие «природа»). В данной ситуации платит само предприятие, получая меньшую или большую прибыль.
Можно задавать матрицу игры с природой и в виде так называемой матрицы рисков К = |^-| или матрицы упущенных возможностей. Величина риска— это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Матрицу Л построим на основе матрицы выигрышей Е = |е,у|.
Риском Гц игрока при использовании им стратегий Ри Р2 или Ру и при состоянии природы Пь #2 или Пъ будем называть разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он узнал, что состоянием среды будет или Пь или /72, или 773 и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации.
Матрицу рисков находим по формуле (5.2.2).
Для матрицы (5.7.20) имеем Д = 34 800, /32 = 35 400, = 35 900.
Для определения критериев эффективности построим табл.
5.11.Таблица 5.11
Вспомогательная таблица п, п2 п3 min е1} шах е,у j р, 17 900 5900 35 900 5900 35 900 р3 22 000 35 400 6400 6400 35 400 Рз 34 800 22 800 16000 16000 34 800 (16900 29500 0 12S00 0 29500 0 12600 19900
R =
(5.7.21)
Получаем матрицу рисков:
Для предприятия лучшими являются стратегии: JU
по критерию гарантированного результата: . ~ О
Ег = шах min etj = шах {5900, 6400,16000} -16000 - Р3; '** ' j ф; по критерию оптимизма:
> f- f ?
Е0 = max max е,. = max{35900, 35400, 34800} = 35900-Р(;
' i
по критерию пессимизма: j
Е„ = min min е„ = min {5900, 6400,16000} = 5900 - Р,; »о;.
' 1
по критерию Сэвиджа, исходя из матрицы рисков (5.7.21): , р,
Егс - min max ru = min {29500, 29500,19900} =19900-P3;
i j i
по критерию Гурвица при коэффициенте оптимизма к = 0,6 ,,
Е, = max {/с min ,. + (1 - А:) max е»} =
i j j
‘ = шах{17900,18000, 23520} = 23520-Р3.
I
Стратегия Pi повторяется в качестве оптимальной по трем критериям выбора из пяти критериев, а стратегия Р\ — по двум критериям. Однако, преимущество дал критерий Гурвица, зависящий от коэффициента оптимизма к и, если принять к = 0,9, то по критерию Гурвица оптимальной будет стратегия Р2. Поэтому к практическому применению можно рекомендовать как стратегию Pit так и стратегию Р3.
В данном случае видно, что однозначного ответа о выборе оптимальной стратегии, исходя из критериев оптимальности, дать нельзя.
Дальнейший экономический анализ, с целью определения оптимального объема производства, проведем с использованием теории двойственности задач линейного программирования.
Для матрицы (5.7.20), исходя из общей постановки (5.7.16) — (5.7.19) имеем следующую пару двойственных задач:
для определения оптимальной стратегии игрока Р нужно решить задачу линейного программирования: найти минимум функции
(5.7.22)
при ограничениях
(5.7.23)
17900/, +22000/2 +З4800/3 *1» 5900/, +35400/2 + 22800/3 > 1, 35900/, + 6400Г2 +16000/3 > I, /, >0, /=1,2,3.
(5.7.24)
Оптимальную стратегию игрока П определим, решив задачу линейного программирования: найти максимум функции
7.
= м, + н2 + м3при ограничениях
(5.7.25)
17900«, +5900и2 +З5900и3 <1, 22000м, + 35400м2 +6400м3 <1, 34800«, +22800м2 +16000и3 <1, и}>0, у = 1,2,3.
Решаем более простую обратную задачу (5.7.24) — (5.7.25). Вводя положительные базисные переменные (б.п.) и4, «5, и6, систему неравенств (5.7.24) — (5.7.25) записываем в виде системы уравнений
Г'
бт
М-®!
17900м, +5900ы2 + З5900м3 +м4 =1, 22000м, + 3 5400и2 + 6400м3 + м5 =1, 34800и, + 22800и2 +16000м3 + и6 =1, -м, -и2 -и3 +2 = 0.
Систему (5.7.26) записываем в виде табл. 5.12.
Совершая последовательно три шага модифицированных жор- дановых исключения, получим табл. 5.13.
Таблица 5.13 \.п
б.п^ и6 о5 о4 1 V* 1758766158! 14703 45973049029 43237368013 679081024890800 1410461980 509289611738400 2037243074672400 489549 2094351 35148 113361 14104619800 42313859400 5289232245 5289232425 123406727061 524987 44031622991 32266536049 1772401474964988 14104619800 2037158446953600 8076781399859952 г 4919630499 16008 11495892639 532279964702 1772327848 849632 705230990 509289611738400 11077509218531175 Так как в табл. 5.13 все элементы в г-строке и 1-столбце неотрицательны, то получаем оптимальное решение.
Переходим к решению прямой задачи. Установим соответствие переменных двойственных задач:
С. П. Б. П.
Щ «2 Щ м4 «5 и6
Транспонируем табл. 5.13, знаки перед всеми элементами, кроме элементов Z — строки, меняем на обратные, переменные ^ заменяем на соответствующие переменные и„ получаем табл. 5.14.
Таблица 5.14 V.n.
б\ ‘ь h и 1 h 0,259 • \(Ґ 0,347 • 10^ -0,697- 10"* 0,028 - 10"4 h -0,104- 10^ -0,495 ? 1<Ґ* 0,372 - 1<Ґ* 0,227 • \(Ґ h - 0,903 - 10^ -0,066 ? КГ* 0,216- HT4 0,225 • 1СГ4 т -0,217 ? КГ4 -0,221 ? ІОГ4 - 0,041 ? 10^ 0,480 - !СИ Из табл. 5.14 получаем оптимальное решение. Так как
Т = - = 0,48-10-4, то цена игры V = 20833. Из г, = — = 0,225-10“4 V
v 1 V
получаем X, = 0,469. Аналогично получим х2 = 0,472 и = 0,059.
Это означает, что стратегию Р] нужно применять с вероятностью 0,469, стратегию Р2 — с вероятностью 0,472 и стратегию Ру — с вероятностью 0,059.
Формируем оптимальный план производства:
(600 кост. + 2000 плат, + 300 плащ.) - 0,469 + (1000 кост. +
' + 500 плат. + 800 плащ.) • 0,472 + (800 кост. + 1100 плат. +
; + 600 плащ.) • 0,059 = 801 кост. + 1239 плат. + 554 плащ.
Таким обратом, предприятие при производстве 801 костюма, 1239 платьев и 554 плащей получит наибольшую прибыль, которая в среднем составит 20833 ден. ед.
Для приведенной формулировки производственной задачи получили однозначный ответ.
Недостатком данного метода является достаточно большой объем вычислительных операций даже для матрицы с размерностью 3x3. Однако, существуют стандартные программы применения симплексного метода на ЭВМ и это снимает подобное неудобство.
Еще по теме 5.7.3. Выбор оптимального ассортимента продукции:
- 7.2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫБОР ОБЪЕМА шл ИНВЕСТИЦИЙ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЙ МАКСИМАЛЬНЫЙ ПРИРОСТ ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ
- 5.6. Анализ ассортимента продукции
- Расширение границ торговой марки и ассортимент продукции
- 6.5.4. Выбор оптимального проекта реконструкции фабрики — химчистки
- 6.6.4. Выбор оптимального решения с помощью доверительных интервалов
- § 6. Проблемы выбора оптимальной организационной формы юридического лица
- 6.5. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА МЕТОДОМ ПОСТРОЕНИЯ ДЕРЕВЬЕВ СОБЫТИЙ
- 6.6.1. Выбор оптимального варианта решения с помощью статистических оценок
- 6.3. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ЧИСЛА РАБОЧИХ МЕСТ В ПАРИКМАХЕРСКОЙ С УЧЕТОМ РИСКА ОБСЛУЖИВАНИЯ
- 3.3. Планирование экспортного товарного ассортимента
- 9.4. УЧЕТ ГОТОВОЙ ПРОДУКЦИИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СЧЕТА 40 «ВЫПУСК ПРОДУКЦИИ»
- Ассортимент — наше основное отличие
- 10.10. Исключение доступа к рынку, принудительный ассортимент, барьеры входа
- 21.5. Выбор между договорным урегулированием и судебным разбирательством; выбор правил гражданской процедуры и эволюция общего права
- 5.5.2. ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПО ПАРЕТО
- 1.2.2. Модели определения оптимального размера заказов
- 13.1. Оптимальное регулирование
- Математический вывод формулы оптимальной интенсивности стимулирования
- Критерий оптимальности демографических процессов
- Оптимальные средства продвижения в Интернете