<<
>>

4.3.2. Потоки платежей

Потоки платежей весьма часто встречаются на практике: заработная плата, плата за квартиру, ежемесячный взнос на счет в банк некоторой суммы, откладываемой для покупки квартиры, и т.д.

Как правило, разного рода финансовые операции предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений.

Совокупность ряда распределенных во времени платежей принято называть потоком платежей или денежным потоком. Любая финансовая операция предполагает наличие двух потоков платежей: входящего — по- ступления (доходы) и исходящего — выплаты (расходы, вложения). Эти потоки, а также поток процентных платежей, создаваемый начислением процентов, формируют соответствующий денежный фонд.

Поток называется конечным или бесконечным в зависимости от количества платежей в нем.

Пусть Рп = {Рк, (к) — поток платежей, где /к — момент времени, а Рк — платежи. Предполагается, что известна ставка процента /, обычно неизменная в течение всего потока.

Величиной потока в момент Т называется сумма платежей потока, дисконтированная к этому моменту

рп<л=5>*а+ог-' >т

к

Величина Рп(0) называется современной величиной потока. Если есть последний платеж, то величина потока в момент этого платежа называется конечной величиной потока.

Пример 4.11, Имеем поток платежей Рп= {{-1000; 1), (1000; 2), (1800; 3), (2500; 4)}. Найдем характеристики этого потока при 8% ставке.

-1000 1000 1800 2500

к I 1 1 1 1 ?

0 1 2 3 4 а

Рис. 4.9 ^

.«7 ,

Прежде всего найдем современную величину потока Р^0) = -1000(1 + 0,08)“* + 1000(1 + 0,08)-2 +

... + 1800(1 + 0,08)“3 + 2500(1 + 0,08)^ = 3197,89. ш

Теперь найдем конечную величину потока

Р{0) = Яд(0Х1 + О4 = 3197,89 (1 + 0,08)4 = 4350,69. ’1

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а промежутки между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой.

Временной интервал между двумя последовательными выплатами называется периодом ренты.

Срок от начала первого перио да до конца последнего называется сроком ренты. Различают два основных типа рент: безусловные и условные ренты. Безусловные ренты — это ренты с фиксированным периодом, т.е. даты первой и последней выплат определены до начала ренты. Условные ренты — ренты, в которых дата первой или последней выплаты зависит от некоторого события, например пенсия.

По количеству выплат членов ренты на протяжение года ренты делятся на годовые (выплаты раз в году) и т — срочные (т — количество выплат в году). При анализе производственных инвестиционных процессов иногда применяются ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент называются дискретными.

В финансовой деятельности встречаются и такие потоки платежей, которые производятся столь часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

Текущим значением ренты называется денежная сумма эквивалентная множеству всех выплат в начальный момент ренты. Наращенным значением (суммой) ренты называется сумма, эквивалентная множеству всех выплат в конце всего срока ренты. Для обычной ренты текущее значение определяется за один период до первой выплаты, а наращенное значение — в момент последней выплаты. Очевидно, что и текущее, и наращенное значения зависят от процентной ставки, используемой в уравнении эквивалентности.

По количеству начислений процентов на протяжении года различают ренты с ежегодным начислением, с начислением п раз в году, с непрерывным начислением. Моменты начисления процентов могут совпадать или не совпадать с моментами выплат членов ренты. Однако, расчеты значительно упрощаются, если два указанных момента совпадают. Ренты по этому признаку классифицируются на простые и общие соответственно.

Пример 4.12. Найти текущее и наращенное значение ренты с выплатами 1000 у.е. в конце каждого месяца в течение двух лет. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 6% годовых.

Приведем временную диаграмму выплат (рис. 4.10).

1000 1000 1000

0,5% 1000 1000 1000 ! 1 1 Ь- 0

12 3

: Эффективная ставка за месяц г = — % = 0,5%.

Если Р, наращенное значение простой обычной ренты, состоящей из п выплат, каждая в размере Я с процентной ставкой [ за период начисления, то уравнение эквивалентности для даты последней выплаты имеет вид:

Р, = Я + Д(г + 1) + Д(1 + О2 + ...

+ Л(1 + О"'1.

Применяя к правой части уравнения формулу суммы членов геометрической прогрессии с первым членом Л и знаменателем (1 + 0, получим:

*'? /> = (1+)Г-1д (4 3 3)

Множитель

(4.3.4)

называется коэффициентом наращения простой обычной ренты.

Текущее значение ренты Р определяется из условия эквивалентности для текущего и наращенного значения обычной ренты:

\-П

/> =а + 0"/> или Р = 1 0 + 0 к (4.3.5)

Коэффициент перед Д в формуле (4.3.5) называется дисконтирующим множителем обычной простой ренты.

Переходим к нашему примеру. По формуле (4.3.5) вычисляем текущее значение ренты:

/. = 1-(1+.?’00^.г4 • 1 ООО = 22562,87 у.е. г" 'У 0,

005 .

Наращенное значение найдем по формуле (4.3.3):

(1 + 0005')24-1 к;:]!

= Ч + ? 1000 = 25431,96 у.е.

' 0,05

По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты, ренты делятся на немедленные и отложенные, или отсроченные. Для отложенной ренты срок ренты начинается в некоторый момент в будущем и ее принято считать обычной.

Важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то соответствующие ренты называют обыкновенными, или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо. Иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.

Для вычисления параметров произвольного потока платежей

и, в частности, ренты достаточно уметь составлять уравнение эквивалентности для заданного момента времени. Однако для произвольного ряда выплат эта задача может оказаться трудоемкой. Поэтому для вычисления параметров общей ренты целесообразно преобразовать ее в эквивалентную простую ренту. Пусть Доб — величина выплат общей обычной ренты; п — число выплат общей ренты в году; і — процентная ставка, соответствующая периоду об щей ренты; Я — величина выплат простой ренты, эквивалентной исходной общей ренте; т — число периодов начисления в году; ' ) — процентная ставка за период начисления. Для простоты восприятия изобразим временную диаграмму (рис.

4.11).

п выплат в год

Я Я Я Я Я

!?- 1 1 1 1 1 1

т выплат е год •'

?Ц-: :

Рис. 4.11 Ь ' '

Для эквивалентности данных рент необходимо выполнение следующих условий: 1.

Процентные ставки за периоды этих рент должны быть эквивалентны. 2.

Эквивалентные этим рентам значения, соответствующие одному и тому же моменту времени, должны совпадать.

Из определения гмдойадентности процента ь1х*тавок и первого условия имеем: Г|

(1 + 0" = (1 +У)т- (4.3.6)

Приравнивая наращенные за год значения обеих рент, получим:

0+УГ-1Р (1+0"-и

у Д } (4.3.7) ?

С учетом (4.3.6) формула (4.3.7) запишется так:

Ф

_ Дрб ^

{ ‘ ? &> Подставляя сюда выражение для /, найденное из (4.3.6), получим формулу для выплат простой ренты:

Л = _ д^б (4,3.8)

0 + У)" -1

Пример 4.13. Заменить общую ренту сроком два года с выплатами 1000 у.е. в конце каждого полугодия и начислением процентов по кварталам по ставке 8% годовых простой рентой с поквартальными выплатами.

Временная диаграмма выплат приведена на рис. 4.12.

41 1000 1000 1000 1000 I

1 1 1 1 0

‘ 1 2 3 4

..п : Рис. 4.12

^ Известно, что Ко6 = 1000 у.е., п - 2, т = 4,7 = 0,02. По формуле (4)3.8) имеем:

.! Д = 1000 = 495,05 у.е.

•лА- 4

(1 + 0,02)2 -1

<< | >>
Источник: Шапкин А. С., Шапкин В. А.. Теория риска и моделирование рисковых ситуации: Учебник. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»,. — 880 с.. 2005

Еще по теме 4.3.2. Потоки платежей:

  1. 4.3. РИСК ПОТЕРЬ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ
  2. 3.1. Банковские платежи, способы их проведения и необходимые для этого счета Расчета и платежи
  3. Способы платежей« Необходимость безналичных платежей
  4. 1.3. Расчет таблицы денежного потока. Анализ денежного потока компании
  5. 3.4. Формы и инструменты проведения безналичных платежей: основные условия и процедуры их применения Формы безналичных платежей
  6. Расчет финансовых платежей
  7. КЛАССИФИКАЦИЯ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ.
  8. 12.8. Анализ денежных потоков
  9. 7. ПЛАТЕЖИ
  10. § 4. Таможенные платежи
  11. 2.6. Анализ нулевого денежного потока
  12. 5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ.
  13. Приведенная стоимость потока дохода