<<
>>

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЕ НАПРАВЛЕНИЕ

Большое значение в изучении природы математики имело развитие аксиоматической теории множеств. Если именно теория множеств является основанием математики, то ее изучение приобретает в философии математики стратегическую значимость.

Зная, что представляет собой теория множеств, можно многое сказать относительно всей математики.              lt;

Согласно теоретико-множественному направлению, основанием математики является теория множеств и к ней должны быть сведены другие математические теории — это, во-первых. Во-вторых, сама теория множеств должна быть обоснована строго аксиоматически. В рассматриваемом направлении теория множеств предстает в особом качестве, а именно как идеал, методологическая норма математики. Среди лидеров теоретико-множественного направления чаще других называют Г. Кантора, Э. Цермело, А. Френкеля и К. Гёделя. Теоретикомножественное направление имеет много общего с логицизмом и особенно с формализмом. Во всех трех направлениях всячески приветствуется аксиоматический метод. Однако в методологическом отношении теоретико-множественное направление автономно, его идеалы имеют самостоятельное значение.

Первые успехи теоретико-множественного направления были связаны с выработкой Э. Цермело (1908) довольно удачной аксиоматики теории множеств, позднее усовершенствованной А. Френкелем (1922)1. Казалось, что таким путем можно раз и навсегда избавиться от парадоксов теории множеств, но теоремы Гёделя о неполноте и непротиворечивости выявили её ограничительные возможности. Целый ряд неожиданностей оказался также связан с аксиомой выбора и континуум-гипотезой.

Согласно континуум-гипотезе, всякое бесконечное подмножество множества мощности континуума либо равномощно множеству натуральных чисел, либо имеет мощность континуума (мощность континуума есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел).

Континуум-гипотеза актуальна в деле обоснования аксиоматики теории множеств.

Проблема состояла в том, чтобы выяснить, возможно ли доказать либо опровергнуть средствами теории множеств аксиому выбора и континуум-гипотезу. Ясность в эту проблему была внесена лишь в 1963 г.[27] [28], в первую очередь благодаря работам К. Гёделя и П. Коэна.

Было доказано, что в аксиоматике Цермело—Френкеля аксиома выбора и континуум-гипотеза, а также отрицание обоих положений неразрешимы. Это означает, что если аксиомы Цермело—Френкеля непротиворечивы, то к ним можно добавить либо одно из рассматриваемых

утверждений, либо оба, а также либо отрицание одного из положений, либо отрицание обоих. Можно вообще отказаться от аксиомы выбора и континуум-гипотезы, но в таком случае теория множеств обедняется. Можно в систему аксиом Цермело—Френкеля включить аксиому выбора и отрицание континуум-гипотезы или же отрицание аксиомы выбора и континуум-гипотезу. Существуют и другие способы построения аксиоматической теории множеств, не упомянутые нами. Вывод из сказанного, особенно если учесть, что аксиоматика Цермело—Френкеля не является единственной, очевиден: возможен целый ряд различных теорий множеств.

В рассматриваемом контексте достойна упоминания теорема Левенгейма—Сколема. Оказалось, что любая аксиоматическая система некатегорична, т.е. она может быть интерпретирована по-разному. Так, одна и та же теория может представлять как счетное, так и несчетное множество (несчетное множество в отличие от счетного неэквивалентно множеству натуральных чисел). Налицо нечто вроде принципа математической относительности. Природа множества не является изначально данной. Она теоретически нагружена в том смысле, что зависит от избираемой аксиоматики и ее интерпретаций.

Развитие теоретико-множественного направления показало, что его статус всякий раз существенно определяется активностью субъекта, члена математического сообщества. В случае если математик пассивен и не проявляет должной метанаучной проницательности, он встречается с явными сюрпризами.

Математика предстает не такой, какой ее себе представляли, а оказывается «умнее» своего создателя.

Следует отметить, что в свете трудностей, с которыми встретились программы логицизма и формализма, вековое благоденствие аксиоматической теории множеств вызывает удивление. Формалисты тратят огромные усилия на доказательство состоятельности математических теорий. Но оказывается, что есть другой путь, возможно, значительно более экономный. Надо просто подобрать аксиомы таким образом, чтобы они, с одной стороны, блокировали различного рода неприятности, с другой стороны, обеспечивали развитие теории, в частности доказательство новых теорем. Разумеется, на этом пути непременно встретятся определенные трудности, которые невозможно предвидеть. Тем не менее они могут быть преодолены. Просто удивительно, что на протяжении ста лет аксиоматическая теория множеств демонстрирует свою состоятельность. Успехи аксиоматической теории множеств наводят на мысль, что одна из стратегий философии математики может быть такой: тщательно сформулируйте блок аксиом, а затем поддерживайте его в рабочем состоянии.

Особого внимания заслуживают сама аксиомы. Как отмечает В.В. Целищев, «разговор о самоочевидности аксиом в случае теории множеств теряет смысл почти на самых ранаих этапах развития этой теории. Так, наиболее очевидное положение с том, что каждое свойство определяет множество, приводит к парадшхам. Больше того, практически все аксиомы не представляют собой ясных положений и для каждой из аксиом требуется значительное обоснование или, по крайней мере, мотивация»1. Формулировка каждой аксиомы предполагает учет многочисленных концептуальных тонкостей. Чтобы не быть голословными, приведем, следуя М. Клайну, некоторые формулировки аксиом Цермело—Френкеля в словесном виде[29] [30]. Два множества тождественны, если они состоят из одних и тех же элементов. Существует пустое множество. Если хну — множество, то неупорядоченная па]gt;д (х, у) также множество. Объединение любого множества множеств также есть множество.

Существует бесконечное множество. Любое свойство, формализуемое на языке теории, может быть использовано для определения множества. Допускается образование множества подмножеств любого множества, т.е. набор всех подмножеств данного множества есть множество. Аксиома выбора. х не принадлежит х.

Некоторые из этих аксиом представляются интуитивно ясными, например первая аксиома, аксиома экстенсиональности. Другие вызывают большие сомнения. Интуитивно, например, не вполне ясно, почему непременно следует вводить представление о пустом множестве. Но при тщательном анализе выясняется, что все аксиомы необходимы постольку, поскольку в их отсутствие не удается развернуть потенциал теории множеств. Каждая аксиома является неочевидным концептом, формулировка которого предполагает исключительное рафинированное понимание существа теории множеств. С этой точки зрения трудно переоценить научный подвиг Эрнста Цермело, сумевшего выработать остов аксиоматической теории множеств.

Не всегда теоретико-множественное направление оценивают в качестве одного из направлений в философии математики. Вроде бы его сторонники не столь откровенно определяют свою философскую позицию, как, например, логицисты, интуиционисты и формалисты. Но это впечатление обманчивое. По сути, теоретико-множественное направление отнюдь не нейтрально в философском отношении. Оно включает в себя положение о фундаментальном характере теории множеств, якобы составляющий основание всей математики, а также опору на аксиоматический метод, который рассматривается в качестве концептуального стержня всей математики. 

<< | >>
Источник: Канке В.А.. Философия математики, физики, химии, биологии : учебное пособие. 2011

Еще по теме ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЕ НАПРАВЛЕНИЕ:

  1. II.       ПРОГРАММА ТЕОРЕТИКО-ПРИКЛАДНОГО СОЦИОЛОГИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
  2. 1. ОСОБЕННОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ ТЕОРЕТИКО-ПРИКЛАДНОГО   ИССЛЕДОВАНИЯ
  3. § 2. Понятие и признаки множественности
  4. Р А З Д Е Л I ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАЦИОННОЙ ПОЛИТИКИ
  5. Глава VII ВЗГЛЯДЫ ТЕОРЕТИКОВ РАЗВЕДКИ
  6. Тема № 6. Множественность преступлений
  7. КЛАССЫ, КЛАССОВЫЕ КУЛЬТУРЫ И НЕРАВЕНСТВО: ТЕОРЕТИКИ КОНФЛИКТА
  8. § 2. Понятие и признаки множественности преступлений
  9. § 5. Множественность (Konkurrenzlehre)
  10. Глава VI. Педагогика Запада в поисках своих оснований 1. Гегель как практик и теоретик образования
  11. § 3. Формы множественности преступлений
  12. § 4. Уголовно-правовые последствия множественности преступлений
  13. ТЕОРЕТИКО – ПРАВОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЗАЩИТЫ ЕДИНОГО ИНФОРМАЦИОННОГО ПРОСТРАНСТВА И ИХ ОТРАЖЕНИЕ В СИСТЕМАХ РОССИЙСКОГО ПРАВА И ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА