<<
>>

ТЕОРЕТИКО-КАТЕГОРИАЛЬНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ

В начале XX в. теория множеств рассматривалась в качестве основания всего математического знания. Имелось в виду, что любая математическая теория имеет дело с определенным множеством математических объектов.

Теория множеств в таком случае представляет собой общую математику, положения которой специфицируются в других математических теориях, например в геометрии и теории чисел. Во второй половине прошлого века теория множеств в качестве общей математики приобрела влиятельную соперницу в виде теории категорий.

Основополагающее значение в ее формировании имела классическая работа С. Эйленберга и С. Маклейна[31]. Им необходим был термин, который бы обобщал термин «тип». Таковым как раз и стал термин «категория», заимствованный из философии Аристотеля. Разумеется, речь идет о математической, а не о философской категории. Более десяти лет, вплоть до появления в конце 1950-х гг. пионерских работ А. Гротендика, теория категорий не воспринималась самостоятельной теорией, а расценивалась в качестве удобного языка для рассмотрения наиболее абстрактных разделов математики, смысл которых, в конечном счете, должен определяться теоретико-множественным путем.

Формирование теории категорий как самостоятельной математической науки в основном было закончено к 1970 г. Особенно большое значение имели в этой связи наряду с работами Гротендика, введшего в математику концепт топоса, труды Ф. Лаввера, который первым понял, что теория категорий может быть моделирована не только на математику, но и на логику. В таком случае ее резонно было воспринимать как общую теорию всех формальных наук.

В последующие годы началась экспансия теории категорий. Вначале она охватила алгебру, теорию множеств, топологию, а затем компьютерные науки, физику и даже общественные дисциплины. Что же касается философского осмысления теории категорий, то оно приобрело внушительные формы, пожалуй, лишь в последние 20 лет, особенно благодаря усилиям С.

Маклейна, С. Ооди, Дж. Ламбека, Ж.-П. Маркиза. Маркизу удалось сделать прекрасный обзор всего того, что сделано в области философии теории категорий[32].

Под категорией понимается единство структур математических объектов с их непрерывными преобразованиями, называемых морфизмами. Соответствующими примерами являются категории множеств, топологических пространств и групп. Разновидностями морфизмов являются изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм, мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм. Их также называют стрелками, т.е. переходами между структурами. Известный из теории множеств концепт функция обобщается до концепта функтора, который является отображением, сохраняющим структуру объектов.

Почему теория категорий далеко не сразу завоевала право на существование в математике? Математики всегда знали, что наиболее универсальной математической дисциплиной является алгебра. Но почему же в таком случае не ее, а теорию множеств считали основанием математики? Дело в том, что в алгебре в центре внимания оказываются не объекты и их признаки, а операции над объектами. Рассмотрим, например, простейшее алгебраическое равенство (а + b)2 = а2 + 2ab + Ъ2. Что именно представляют собой объекты, закодированные символами а и Ь, остается во многом безразличным. Единственное требование, которое предъявляется к ним, состоит в том, что они должны допускать операции сложения и умножения. В связи с этим создается впечатление, что алгебраический подход фатальным образом обедняет математические объекты и, следовательно, не может быть основанием для их всесторонней оценки. Теория категорий, унаследовавшая потенциал алгебры, равно как и топологии, оценивалась так же, как алгебра. Она, дескать, изучает структуры без структур, т.е. абстрагируется от природы математических объектов. Даже видные представители теории категорий часто утверждают, что они изучают абстрактные структуры. Вспомним, что представители группы Н. Бурбаки заявляли, что математика имеет дело с абстрактными структурами.

Рассуждения об абстрактных структурах не столь очевидны и не столь безобидны, как это кажется на первый взгляд.

Во-первых, не со-

общается, от чего именно абстрагируются при введении представления о структуре. Но в таком случае природа самой структуры остается невыделенной. Во-вторых, и это особенно важно, не уделяется должного внимания концептуальной стороне дела. В указанном отношении весьма показательны успехи представителей теории категорий. В отличие от своих решительных оппонентов они поняли, что представления о категориях, морфизмах, функторах не обедняют концептуальное содержание математики, а, наоборот, существенно наращивают его. Это обстоятельство нашло четкое выражение в статье С. Ооди[33].

Он отмечает, что стало общим делом признавать исключительную значимость в выяснении оснований математики трех теорий: теории множеств, теории типов и теории категорий. Но при этом не выявляются отношения между ними и их важнейшими концептами, которыми являются соответственно множества, типы и категории. Поэтому он рассматривает переход множества lt;=gt; типы плюс типы « категории плюс категории lt;=gt; множества и изображает его в виде треугольника. Каждый из концептов получает свою интерпретацию в рамках этого треугольника, причем у любого из них есть свои преимущества. Например, множества наиболее конкретны, категории же предназначены для непосредственного изучения структур. В этом отношении они эффективнее концепта типа.

На наш взгляд, идея рассмотреть соотносительность концептов множества, типа и категории плодотворна, однако сама она должна рассматриваться в контексте представления о проблемном и интерпретационном ряде теорий. Теория типов Рассела—Уайтхеда возникла не случайно, а как реакция на затруднения наивной теории множеств с ее многочисленными парадоксами. То же самое можно сказать о системе аксиом Неймана—Бернайса—Гёделя, в которой в отличие от системы Цермело—Френкеля фигурирует концепт класса. В свою очередь теория категорий также возникла не случайно, а явилась реакцией на разрозненность математических теорий, не преодоленной в результате их теоретико-множественной интерпретации. Сказанное позволяет построить следующий проблемный ряд теорий (7):

О)              Тт, -gt; Тш.

Существенно, что каждая последующая теория наращивала концептуальный потенциал математики, но и не отвергала полностью своих предшественниц. Однако все теории подвергались новому истолкованию. И теория множеств, и теория типов оценивались теперь

с позиций теории категорий. Следовательно, по сути, имел место интерпретационный ряд

(2)

Изображенные выше проблемный и интерпретационный ряды показывают, что теория категорий не обедняет математику, а наращивает ее концептуальный потенциал, который будет более тщательно рассмотрен ниже.

Два упомянутых ряда также позволяют понять ошибочную оценку значимости теории категорий Дж. Хелмэном. Согласно его интерпретации, теория категорий развивалась совместно с теорий множеств. Поэтому она не может заменить ее в качестве основания всей математики, что предлагали С. Маклейн и С. Ооди[34]. Последовал незамедлительный ответ со стороны Ооди[35]. Смысл его заключался в том, что теория категорий является концептуальным каркасом, необходимым для анализа математических структур. Это представление выдвинул первым С. Маклейн[36]. Избежать его невозможно. При этом нет необходимости искать какие-то абсолютные фундаментальные математические структуры. Не утверждается, например, что необходимо найти такой топос, к которому можно было бы свести все другие математические объекты. Актуальной является задача не нахождения фундамента математики, а определения тех концептуальных каркасов, которые необходимы в интересах математики. Категории и морфизмы не являются реальными математическими объектами, но необходимы для определения их места в составе структур.

И -С. Ооди, и И. Лэндри[37] характеризуют теорию категорий как оформленную лингвистически философскую концептуальную схематику. На наш взгляд, теория категорий является не философской, а математической теорией — это, во-первых. Во-вторых, это не только лингвистическая, но и ментальная конструкция.

Особого внимания заслуживает вопрос об онтологическом статусе математических объектов. В этой связи нам представляется весьма

взвешенной позиция Ж.-Р. Маркиза, приведенная им в ранее указанной нами его статье. Во-первых, природа объектов характеризуется в рамках категорий. Во-вторых, объекты характеризуются с точностью до изоморфизма. Нет таких объектов, как, например, натуральные числа, но есть понятие натурального числа. То, к чему именно обращается это понятие, зависит от контекста. Часто пытаются определить математические объекты во всей их уникальности. Правильный же путь состоит в том, чтобы определить типы математических объектов, которые представляют знаки. Что же касается интерпретации знаков, то она зависит от соответствующего контекста. Таким образом, теория категорий проливает дополнительный свет на онтологические проблемы математики.

Она позволяет в значительной степени упорядочить математические теории. По сути, в ней кульминирует поиск основополагающего принципа математики, каковым стал принцип морфизма. Природа любого класса объектов определяется соответствующими морфизмами. А сами эти объекты определяются с точностью до изоморфизмов. Эти два результата являются исключительно нетривиальными.

Выше уже отмечалось, что теория категорий естественным образом объединила логику и математику. Именно благодаря ей в наши дни все более отчетливо проявляются контуры единой теории всех формальных наук. Видимо, неуместно как сведение математики к логике, так и выстраивание их в некоторую линию. Логику и математику объединяют интернаучные связи. Что является оригиналом и что моделью, определяется направленностью научного исследования. Между тем широко распространено мнение, что поступь наук должна непременно быть в направлении от логики к математике: логика —»математика. Логика, мол, поставляет универсальные методы мышления для всех наук. Такое утверждение имеет в значительной степени декларативный характер, ибо не указываются конкретные концепты, которые имеют основополагающее значение.

В теории категорий такие концепты указываются — это, в первую очередь, концепты объектных структур, категорий, морфизмов, функторов, топосов. Какое концептуальное пиршество!

Обращает на себя внимание также общенаучное значение теории категорий. Согласно исследованию И.А. Акчурина, именно теория категорий с акцентом на концепт топоса обеспечивает единство всего естественно-научного знания[38]. По мнению А.П. Левича, теории категорий нет достойной альтернативы в качестве концептуального средства

для описания изменчивости процессов[39]. Трудно не согласиться с этим утверждением. Концепты морфизмов и функторов действительно выражают концептуальную сторону изменчивых процессов актуальнейшим образом.

Дж. Бэезу в великолепном обзоре удалось особенно рельефно выделить общенаучную актуальность теории категорий. Приведем фрагмент одной из его таблиц1 [40] (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Общенаучная значимость теории категорий


Как видим, с позиций теории категорий логика, топология, физика и теория вычислений устроены однотипно. Добавим к этому, что в последние годы, особенно в связи с развитием концепта сопряженного функтора, теория категорий довольно успешно используется не только в естествознании, но и в области общественных наук[41].

Таким образом, развитие теории категорий является далеко не рядовым фактом в истории развития математики. По сути, она стимулирует целый ряд новаций в области философии математики. 

<< | >>
Источник: Канке В.А.. Философия математики, физики, химии, биологии : учебное пособие. 2011

Еще по теме ТЕОРЕТИКО-КАТЕГОРИАЛЬНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ:

  1. Глава 4 Категориальные модели социальной структуры
  2. М. Г. Ярошевский КАТЕГОРИАЛЬНЫЙ АППАРАТ ПСИХОЛОГИИ
  3. Категориальный анализ бизнеса
  4. II.       ПРОГРАММА ТЕОРЕТИКО-ПРИКЛАДНОГО СОЦИОЛОГИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
  5. 1. ОСОБЕННОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ ТЕОРЕТИКО-ПРИКЛАДНОГО   ИССЛЕДОВАНИЯ
  6. Категориальное равновесие пола и класса: «Gendering Class»
  7. ЗАМЫСЕЛ, ПРОБЛЕМА И КАТЕГОРИАЛЬНЫЙ АППАРАТ АНАЛИЗА ФРЕЙМОВ
  8. Р А З Д Е Л I ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАЦИОННОЙ ПОЛИТИКИ
  9. Глава VII ВЗГЛЯДЫ ТЕОРЕТИКОВ РАЗВЕДКИ
  10. КЛАССЫ, КЛАССОВЫЕ КУЛЬТУРЫ И НЕРАВЕНСТВО: ТЕОРЕТИКИ КОНФЛИКТА
  11. Глава VI. Педагогика Запада в поисках своих оснований 1. Гегель как практик и теоретик образования
  12. ТЕОРЕТИКО – ПРАВОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЗАЩИТЫ ЕДИНОГО ИНФОРМАЦИОННОГО ПРОСТРАНСТВА И ИХ ОТРАЖЕНИЕ В СИСТЕМАХ РОССИЙСКОГО ПРАВА И ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА
  13. 1.4.1.2.4 Вероятная направленность
  14. 1. Направленность личности.
  15. Понятие о направленности личности
  16. 8.1.1. Школы и направления