<<
>>

Математические упражнения

1.

Пусть группа людей A, ...,Z разделяет риск, связанный с получением дохода /, пропорционально терпимости к риску членов группы. Например, доля индивида А составляет рА/{рА + ...

+ypz), где рА = 1/гА и т. д. Докажите, что в этом случае премия за риск А составит (l/2)pAVar(I)/(pA + ... + pz)2

и, следовательно, общая премия за риск всех членов группы составит (1/2)Y8LY(I)/(PA + ... + Pz), т. е. будет равна премии за риск, которая потребовалась бы для единственного индивида, обладающего терпимостью к риску

+ +pz. 2.

Два человека, А и Б, с доходами 1А и 1В заключают контракт о разделении риска, согласно которому доход А составляет cdA + piB + у, а В получает оставшуюся часть общего дохода. Величина общей премии за риск для данного варианта определяется уравнением (7.1). а. Преобразуйте данное уравнение в выражение с членами Var(/A), Var(1В) и Соv(IA,IB). (Указание. В ответе должна получиться квадратичная функция от а и /?). б. Для того чтобы найти значения а, /? и у, при которых достигается минимум этого выражения, возьмите производные данного выражения по а и /? и приравняйте их к нулю. Покажите, что решением этих трех уравнений служат значения а = р - -РА1[РА + РВ) у гДе РА = УГА и Рв = Угв ~ терпимости к риску двух индивидов. в. Используя метод математической индукции и результаты этой и предыдущих задач, покажите, что независимо от числа людей в группе доля индивида в каждом из рисков будет равна его доле в общей терпимости к риску данной группы. 3.

В этой главе мы сравнивали достоинства относительной оценки результатов и оценки, основанной исключительно на личных результатах работника. Здесь мы рассмотрим также все комбинации двух этих систем оценки результатов. Пусть измеренный результат менеджера А равен еА + хА + хс, а измеренный результат В — ев + хв + хс, где хА, хв и хс — независимые источники случайности.

Имеется предложение рассчитывать вознаграждение менеджера А исходя из его личного результата за вычетом произведения 8 на какой-либо измеритель результата работы В. Найдите значение 8, при котором дисперсия этого измерителя результата минимальна. Как изменится это значение при изменениях Уаг(д:Л), Уаг(д:в), Уаг(д:с)? 4.

Предположим, предприниматель может делать выбор среди инвестиционных проектов, имеющих одинаковую стоимость, однако отличающихся друг от друга по соотношению между риском и доходом. Множество имеющихся проектов описывается кривой, характеризующей максимальные достижимые значения ожидаемого чистого дохода (за вычетом первоначальной стоимости инвестиционного проекта), соответствующие любой заданной дисперсии доходов. Предположим, уравнение этой кривой имеет вид т = 2и- (1/2)и2, 0 < V < 2, где т — среднее значение дохода, а и — дисперсия дохода. Таким образом, предприниматель может обеспечить себе достоверный доход т = 0 дол., в сущности, за счет отказа от инвестиций, в то время как максимальный ожидаемый доход достигается при выборе проекта с V = 2, который обеспечивает ожидаемый доход, равный 2 дол. Какой проект выберет предприниматель, если все доходы от реализации проекта (положительные или отрицательные) достаются исключительно ему одному, а его коэффициент исключения риска г > 0 и соответственно его предпочтения выражены в форме достоверного эквивалента т - (1/2)ги?

Допустим теперь, что имеется возможность разделить риск инвестиционного проекта с внешним инвестором, чей коэффициент исключения риска равен в. Выбор какого из инвестиционных проектов приведет в этом случае к получению максимального значения общего достоверного эквивалента? Как должен быть разделен риск? Можно ли достичь этого результата путем продажи инвестору прав собственности на часть фирмы предпринимателя таким образом, чтобы инвестору было выгодно заплатить сумму, достаточную для того, чтобы предприниматель выиграл от продажи этой доли? 5.

Склонный избегать риска предприниматель рассматривает возможность продажи акций своей фирмы на открытом рынке.

После этого преобразования фирмы в компанию открытого типа он будет продолжать управлять ею. Источником полезности для предпринимателя является доход х и использование должностных привилегий с; соответственно функция полезности имеет следующий вид: и{х,с) = х - (1/2)Уаг(д:) + 100с1/2, где х — среднее значение дохода х, а Уаг(л:) — его дисперсия. Неопределенные прибыли фирмы имеют вид У - с: каждый доллар, потраченный на обеспечение привилегий, уменьшает прибыль на один доллар. Дисперсия переменной У, а следовательно и У - с, составляет сг2; условимся, что эта величина больше 2500. В настоящее время преприниматель является единственным владельцем фирмы, получающим в качестве дохода всю прибыль фирмы. Какой уровень привилегий он выберет?

Допустим теперь, что предприниматель продает долю а в фирме нейтральным по отношению к риску инвесторам, оставляя за собой долю 1-а. Таким образом, он получает в качестве дохода сумму, уплаченную инвесторами за проданную долю — обозначим ее М(а), — а затем свою долю случайной прибыли фирмы, (1 - а){У - с). Соответственно дисперсия его дохода составит (1 - а)2 а2. Какова зависимость между величиной а — продаваемой предпринимателем доли прав собственности на фирму и с — уровнем привилегий, выбираемым им после этой продажи? Максимизирует ли этот выбор общую стоимость (сумму ожидаемых полезностей предпринимателя и инвесторов)? Какой будет ожидаемая прибыль, выраженная как функция а?

Допустим, что конкуренция между инвесторами заставляет их уплачивать за любую данную долю прав собственности на фирму сумму, равную той прибыли, которую они ожидают получить. Какой доход получит предприниматель от продажи доли а, если инвесторы правильно спрогнозируют уровень с, выбираемый предпринимателем после продажи им этой доли? Каково реализованное значение ожидаемой полезности предпринимателя от продажи доли а своей фирмы, если ожидания инвесторов верны? Какой уровень а является для него оптимальным? Выгодно ли предпринимателю взять на себя обязательство не увеличивать с при изменениях а?

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ

Данное приложение состоит из двух частей. В первой части кратко рассматриваются некоторые статистические понятия. Во второй части дается вывод приводимой в основном тексте аппроксимации для достоверного дохода, который с точки зрения лица, принимающего решение, эквивалентен данному случайному (неопределенному) доходу.

<< | >>
Источник: Пол Роберт Милгром, Джон Дональд Робертс. Экономика, организация и менеджмент. Том 1..

Еще по теме Математические упражнения:

  1. Математические упражнения
  2. Математические упражнения 1.
  3. Математические упражнения 1.
  4. Математические упражнения
  5. Математические упражнения
  6. Математическое упражнение
  7. Математические упражнения
  8. Математическое упражнение
  9. АРТИКУЛЯЦИОННО-ФОНЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ (Упражнения, которые помогают выявить индивидуальный центр речевого голоса)
  10. СПЕЦИФИЧНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ
  11. Расчет математических ожиданий и дисперсий